Downloaded from YTS.MX
NETFLIX-DOKUMENTTI
Official YIFY movies site: YTS.MX
Yksi, kaksi, kolme, neljä, viisi…
Ensi kertaa ajattelin äärettömyyttä,
kun katselin eräänä iltana yötaivaalle noin kymmenvuotiaana.
Olin todella pieni, en edes koulussa vielä,
ja istuin ruokailuhuoneen pöydän alla -
ja laskin.
Jossain vaiheessa tajusin, että tämähän jatkuu loputtomiin.
Makasin rannalla yömyöhään ja mietin,
jatkuuko ulkoavaruuden suuruus ikuisesti?
Haluan aloittaa elokuvan tästä lähtökohdasta.
Etsimme äärettömyyttä. Mistä sitä siis pitäisi etsiä?
En usko, että kaikki etsivät äärettömyyttä.
ÄÄRETTÖMYYDEN ÄÄRELLÄ
Onko ääretön luku, paikka,
idea, käsite…?
Jos minulta kysytään, niin kaikkea sitä.
LUKU 1
∞ ON
Luvut eivät ikinä pääty. Se on äärettömän perusidea.
Jos kuvittelen, että lasken niin kauan kuin pystyn,
ääretön jatkuu ilman muuta elinikääni pidempään.
Kaikki kuviteltavissa olevat luvut ovat kuin nolla. Ne eivät ole mitään.
Mikä tahansa luku on täysin mitätön verrattuna äärettömään.
Ääretön ei pelota minua.
Minusta se on kaunis, hurja ja jännittävä ajatus.
Rakastan ääretöntä.
Jos alan ajatella, että tulen olemaan ikuisesti kuollut,
kyllä osa minusta on huolissaan.
Toisaalta en ajatellut pohtia sitä.
Tiedostavaisuus merkitsee äärettömyyden kanssa painimista.
Mahtailematta sen enempää.
Kun sydämemme särkyy, jatkuuko tuska ikuisesti?
Jos todella rakastuu johonkuhun, jatkuuko se ikuisesti?
Rakkaus on ääretöntä, sillä kun rakkaus valtaa meidät,
tunnemme jatkuvasti rikkovamme rajoja.
Yhtäkkiä tuntui, että kaikki nämä abstraktiot -
ovatkin vain mielemme tuotetta.
Kuka keksi äärettömän?
Luulen, että jollakin tavoin käsite on peräisin ajalta ennen mitään tietoamme.
Yksi, kaksi, kolme…
Laskeminen on varhaisin kirjoitus, josta tiedämme.
…seitsemän…
Kirjoittamisen keksijä oli jo keksinyt laskemisen,
ja ajatus siitä, että aina voi laskea yhden lisää,
on varmasti yhtä pitkän ajan takaa.
Meillä on erilaisia visioita äärettömistä asioista,
yleensä pelottavia.
Pohjattoman kuopan käsite.
Ajatus ajasta, joka ei koskaan pääty,
jos uskoo helvettiin,
ja jos uskoo kidutuksen jatkuvan ikuisesti.
Painajainen, josta ei voi herätä.
Ymmärrän, että äärettömän pohtiminen pelottaa, kuvottaa tai ärsyttää monia.
Joillekin meistä se on kuitenkin yksi syvimmistä mielihyvistä.
Olemme niin pieniä…
…10 003, 10 004…
…mutta silti voimme koskettaa jotain niin…
…kymmenen miljoonaa yksi…
…räjähtävän suurta.
…kymmenen miljoonaa neljä…
Itsensä tuntee suuremmaksi, kun tietää, miten pieni on.
Olen jahdannut sitä tunnetta -
koko elämäni.
Onko ääretöntä olemassa mieltemme ulkopuolella?
Onko sitä olemassa?
Uskon, että matematiikassa…
Voimmeko odottaa junan ohimenoa? -Toki.
No niin.
Anteeksi. -On hyvä kerätä ajatuksia.
Olin kai sanomassa jotain siitä,
mitä olemassaolo matemaattisesti tarkoittaa.
Matematiikalla on kiintoisa suhde asioihin,
jotka ovat olemassa.
Jos jonkin voi kuvitella,
jos sen käsittelylle voi luoda säännöt, se on olemassa.
Miten ääretön sitten sopii siihen?
Ääretön on intuitionvastainen ja johtaa -
yllättäviin paradokseihin, ristiriitoihin, älylliseen suohon ja lentohiekkaan…
Monet niistä tiivistyvät vertauksessa, jota sanotaan Äärettömäksi hotelliksi.
ÄÄRETÖN HOTELLI
Kuvittele hotelli, jossa on äärettömästi huoneita.
Se on hyvin suosittu.
Se on itse asiassa aina buukattu täyteen. Joka huone.
Äärettömässä hotellissa on silti aina tilaa.
VAPAITA HUONEITA
Eräänä iltana uusi vieras tulee paikalle.
Hän rimputtaa kelloa.
"Haluaisin huoneen."
Johtaja sanoo:
"Toki. Tietysti meillä on tilaa Äärettömässä hotellissa.
Odottakaa vain hetki."
Johtaja puhuu vieraille kaiuttimien kautta.
Olkaa hyvät ja kerätkää tavaranne.
Valmistautukaa siirtymään seuraavaan huoneeseen.
Huoneen 1 vieras siirtyy huoneeseen 2.
Huoneen 2 vieras siirtyy huoneeseen 3.
Luulisi tulevan ongelmia, sillä kaikki huoneet ovat täynnä.
Hotelli on kuitenkin ääretön, joten tämäkin onnistuu.
Numerot eivät lopu ikinä.
1 voi siirtyä 2:een, 2 voi siirtyä 3:een, miljoona miljoonaan ja yhteen.
Kaikki siirtyvät seuraavaan huoneeseen,
joten huone 1 on nyt vapaa, ja uusi vieras saa majapaikan.
Kaikki voisi pitää samassa huoneessa ja vieras voisi mennä viimeiseen.
Se on houkutteleva ajatus.
Miksi muiden pitää siirtyä yhden vieraan takia?
Koska viimeistä huonetta ei ole.
ÄÄRETÖN HOTELLI
Äärettömyys ei toimi niin.
Pitää aloittaa alusta, ei lopusta. Loppua ei ole olemassa.
Suurempi haaste johtajalle tulee seuraavana iltana,
kun yhden vieraan sijaan paikalle pelmahtaakin -
bussillinen äreitä, hikisiä, pahapäisiä ihmisiä,
jotka kaikki rimputtavat yhtaikaa ja vaativat saada huoneen.
Uusia vieraita on äärettömän monta. Kaikki haluavat hotelliin.
Miten se onnistuu?
Onko tilaa äärettömän monelle, kun ääretön määrä huoneita on jo varattu?
Johtaja on nähnyt ongelman ennenkin ja ilmoittaa kaiuttimien kautta…
Valmistautukaa muutaman minuutin päästä -
siirtymään huoneeseen, jonka luku on tuplasti nykyisenne.
Huoneen 1 vieras siirtyy huoneeseen 2.
Huoneen 2 vieras siirtyy huoneeseen 4. Huoneen 3 vieras menee 6:een.
Huoneen miljoona vieraan täytyy nähdä vaivaa -
ja siirtyä huoneeseen kaksi miljoonaa, joka on hyvin kaukana.
Kaikki tunnollisesti siirtyvät uusiin huoneisiinsa.
Nyt kaikki parittomat huoneet ovat vapaana ja uudet vieraat voivat asettua niihin.
Äärettömässä hotellissa on vielä yksi tapa.
Johtaja on hyvin tunnollinen -
ja käy tarkistamassa kaikki äärettömän monta huonetta.
Onneksi hän on hyvin nopea ja hoitaa homman minuutissa.
Hän viettää puoli minuuttia huoneessa 1,
neljäsosaminuutin eli 15 sekuntia huoneessa 2,
puolet siitä eli 7,5 sekuntia huoneessa 3 -
ja niin edelleen koko hotellin läpi.
Puolikas plus neljäsosa plus kahdeksasosa plus kuudestoistaosa,
ja kun ne laskee yhteen…
Jos sen ajattelee noin ja jatkaa äärettömään asti,
siitä tulee lopulta yksi.
Hän tarkistaa äärettömän monta huonetta minuutissa.
Miten hän palaa huoneesta ääretön? -Hän palaa… Hyvä kysymys. No…
Katsotaanpa. Hän siis…
Mielenkiintoinen kysymys. Missä hän lopulta on?
Älä minulta kysy.
Olen pohtinut ääretöntä koko urani, enkä silti oikein näe hyvää ratkaisua.
Hän on äärettömän pitkän käytävän päässä enkä keksi hänelle reittiä takaisin.
ÄÄRETÖN HOTELLI
Sanoinhan, että hotelli on outo.
Tämän tarinan opetus on,
ettei ääretön käyttäydy niin kuin meille tutut asiat.
Olemme tottuneet ajattelemaan äärellisten lukujen sarjoja.
Kala, kala, kala. Siinä on kolme kalaa.
Olemme tottuneet pieniin lukuihin, ja isoihinkin.
Nykyään kuulee biljoonista dollareista, joita Yhdysvaltain budjetissa käytetään.
Ne eivät ole lähelläkään ääretöntä.
Suurinkaan äärellinen luku ei ole mitään äärettömän rinnalla.
VIELÄ LISÄÄ HUONEITA
Meillä ei ole hyvää intuitiota äärettömän toiminnasta.
LUKU 2
∞ PLUS ∞ ON ∞
Pienet lapsetkin voivat hahmottaa äärettömän vaistomaisesti.
Se on suurin mahdollinen asia. Suurempi kuin mikään muu.
Entä jos lisää yhden?
Jos ääretön on suurinta, mitä on,
niin jos lisää yhden, ehkä tulos on yhä ääretön.
Entä jos molemmilta puolilta vähentää äärettömän.
Sitten tulos olisi 1 on yhtä kuin 0.
Heti tulee ongelmia vastaan, ja se on vasta alkua.
Voimme kirjoittaa asioita, joihin ei ole vastausta.
Äärellisessä aritmetiikassa niin ei ole.
Jos sanon 1 + 2, vastaus on 3, ja siinä se.
Jos sanon 1 - 1 + 1 - 1…
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1, piste piste piste…
Jatkan ikuisesti.
Siihen ei ole vastausta. Se ei ole 0 eikä 1.
Ei kumpaakaan. Se on kumpikin. Siis mikä?
Äärettömän voi yrittää lisätä äärettömään tai kertoa.
Tulee outoja paradokseja.
Mitä on ääretön plus ääretön?
Sen pitäisi olla ääretön, koska se on isoin luku.
Jos vähentää kummaltakin puolelta äärettömän, tulos on ∞ = 0.
Vielä pahempaa. Tämä on kamalaa.
Mutta ihanaa, koska… Mitä tapahtuu?
Onko ääretön kaunis? Totta kai on.
Tai siis niin…
Kuten sanoin, se on kaunis, koska se on…
Ehkä hyvä tapa mieltää se on ympyrä.
Puhunko ympyrästä?
LUKU 3.141592653589793238462643383279
∞ ON YMPYRÄ
On kaunis muoto, jota usein pidetään täydellisimpänä muotona: ympyrä.
Täydellisen pyöreä, päättymätön.
Näemme ympyröitä kaikkialla.
Näen silmissäsi iiriksen ympyrän.
Näen pupillin ympyrän.
Näen auringon ja kuun ympyrät.
Minulla on ympyränmuotoinen vihkisormus.
Rakastan ympyröitä.
Jos istuu alas ja miettii, mitä ne ovat…
Montako sivua niissä esimerkiksi on? Montako kulmaa?
Olemme saman tien kasvokkain äärettömän kanssa,
koska ympyrää ei voi mieltää suorien viivojen kautta.
Jos ajattelemme kulmikkaita muotoja kuten kolmiota,
jos yrittäisimme käyttää sitä renkaana, matkanteosta tulisi aika tuskallista.
Jos on kymmenen kulmaa, se ei ole enää yhtä huono rengas.
Jos jatkaa vielä, voi ajatella,
että jos sivuja olisikin äärettömän monta,
sittenhän se olisi aivan kuin ympyrä,
ja kulmia olisi äärettömän monta eli yhtä kuin ei kulmia.
Jotenkin äärettömästä on siis tullut aivan nollan kaltainen.
Yksi äärettömän ihmeellisyyksistä on,
että jos sitä skaalaa, se on silti ääretön.
Jos äärellisen numeron skaalaa,
se on sama kuin sen kertominen, eli se kasvaa.
Ääretön ei jostain syystä kasva, ja se on outo asia yrittää käsittää.
Yritetäänpä kuvailla tätä.
Jos puhutaan ympyrästä joukkona pisteitä…
Sitähän se on. Loputon joukko pisteitä.
Haluaisin yrittää vakuuttaa teille,
että pienessä ympyrässä, jonka säde on yksi,
on sama määrä pisteitä kuin valtavassa ympyrässä,
jonka säde on miljardi.
Onko selvä?
Ensin on oltava yhtä mieltä siitä, mitä samankokoisuus tarkoittaa.
Jos lyö isosti vetoa ystävän kanssa, kannattaa sopia…
Tämä on hyvä neuvo.
Kannattaa sopia etukäteen, mikä lasketaan voitoksi.
Väitän, että kaksi joukkoa ovat samankokoiset,
jos niiden osat voidaan laittaa suoraan yksi yhteen -suhteeseen.
Annan nyt säännön, joka asettaa pienen ympyrän pisteet -
suhteeseen isomman ympyrän pisteiden kanssa.
Pisteitä ei voi laskea,
mutta ne voi kartoittaa isomman ympyrän pisteisiin.
Otan pienen ympyrän ja keskitän sen johonkin kohtaan -
ja sitten keskitän valtavan ympyrän samaan kohtaan.
Piirrän kaikki säteet samasta keskikohdasta.
Piirrän viivoja keskustasta ulkoviivalle.
Jokainen viiva osuu pisteeseen ulommalla ympyrällä -
ja pisteeseen sisemmällä ympyrällä. Siinä yhteneväisyys.
Tietyn säteen piste pienellä ympyrällä -
vastaa pistettä suuremmalla ympyrällä.
Pyörittämällä säteitä ympäri -
osun selkeästi joka pisteeseen kummallakin ympyrällä.
Valmista tuli.
Täydellinen yksi yhteen -suhde.
Kai myönnätte nyt, että kaksi ääretöntä joukkoa ovat samankokoiset?
Matemaatikot eivät kirjaimellisesti istu laskemassa äärettömään.
Yhdistämme asioita pareittain.
Jos löytää tavan yhdistää asiat pariksi, voidaan sanoa, että ne ovat samoja.
Voimme esimerkiksi muodostaa parit kaikista kokonaisluvuista -
parillisilla luvuilla kertomalla kaikki kahdella.
Parilliset luvuthan ovat vain puolet luvuista,
mutta niistä voi muodostaa parit,
koska jos ykkösen yhdistää kakkoseen, kakkosen neloseen ja kolmosen kutoseen,
ne muodostavat tasaiset parit.
Mutta niitähän on sama määrä, vaikka niitä onkin vain puolet.
Se äärettömässä onkin ihmeellistä.
Kun keksii tämän tavan yhdistää asioita äärettömän joukon koon laskemiseksi,
käy ilmi, ettei kaikkia asioita ehkä voi koskaan yhdistää,
minkä vuoksi on olemassa suurempia mahdollisia äärettömyyksiä.
Miten niin voi olla?
Ääretönhän on jo valmiiksi niin iso kuin kuvitella voi.
Ei.
On vielä jotain muutakin.
Katsotaan, toimiiko tämä. -Selvä.
Voimme todistaa, että pienin ääretön on yksi, kaksi, kolme, piste piste piste.
Jos otan numerot nolla ja yksi ja kysyn, montako numeroa niiden välissä on,
Voit jakaa sitä aina vain.
Vaikka jakaisit kuinka monta kertaa,
aina on olemassa luku, johon voi lisätä yhden nollan lisää.
Voin tehdä pienen kartan,
pienen sanakirjan niiden lukujen ja kokonaislukujen välille.
Yksi, kaksi, kolme, neljä, viisi.
Voimme sanoa, että nämä kaksi ääretöntä joukkoa ovat samankokoiset.
Mutta sitten on muita lukuja.
Vaikkapa kahden neliöjuuri, pii ja E.
Siinä vain muutama, jotka tunnemme ja joita käytämme.
Nämä luvut eivät ole tavallisia murtolukuja,
ja jos ne kirjoittaa desimaaleina,
ne jatkuvat ikuisesti toistamatta itseään ikinä.
Miten voimme ikinä määrittää niitä?
Matemaatikoilla kesti satoja vuosia kehittää tapa tutkia niitä tarkkaan,
ja silloinkin he tajusivat, että ne ovat niin mutkikkaita,
ettei niitä voi listata.
Vaikka kuinka yritämme listata niitä, olemme tuomittuja jättämään joitain pois.
Emme voi luoda yksi yhteen -suhdetta noiden lukujen ja kokonaislukujen välille.
Jos äärettömiä on nyt kaksi, niin miksi pysähtyisimme siihen?
Niitä on suurempia ja suurempia. Polku jatkuu ja jatkuu.
Ääretön äärettömyyksien hierarkia.
Toivottavasti tällainen tekee joistakuista matemaatikkoja.
Epäilemättä jotkut lähtevät pakenemaan kauas pois.
Vaimoni voi pahoin, kun mainitsen äärettömän.
Lapsenikaan eivät halua kuulla siitä.
Jotkut kurkkivat kielekkeen reunan yli.
Nykyään on lasisiltoja, joilla voi kävellä Grand Canyonin yllä.
En ikinä tekisi sitä.
Rakastan kuitenkin matemaattisia kallionkielekkeitä.
Palaamme tässä ylevyyden käsitteeseen.
Kun on vesiputouksen luona,
tulee tunne siitä, että jokin on paljon itseä suurempaa.
Sitten kiipeää vuorenhuipulle ja katsoo seuraavaa laaksoa -
ja näkee toisen, vielä suuremman vesiputouksen,
mutta se on kaukana ja näyttää pieneltä.
Ääretön on hirviö, joka pitää kesyttää.
"ÄÄRETÖN"???
Se on Ääretön! Se hyökkää kaupunkiin!
Matemaatikoiden täytyy keksiä tapoja käsitellä ääretöntä.
Heidän pitää kesyttää outo, epäintuitiivinen olio niin,
että sen ympäri voi kävellä ja sitä voi tutkia joka kantilta.
Nämä tavat johtivat tiukan differentiaali- ja integraalilaskennan syntyyn.
Sen ytimessä on yksi idea, jota kutsutaan äärettömyysperiaatteeksi.
ÄÄRETTÖMYYSPERIAATE
Voimme tutkia mitä tahansa monimutkaista liikettä tai ilmiötä,
mitä vain muuttuvaa, mitä vain kaarevaa muotoa,
mieltämällä sen koostuvan äärettömästä määrästä -
äärettömän pieniä yksinkertaisempia liikkeitä tai muotoja.
Tämä on yksi historian suurimmista ideoista.
Kaikkea, mikä liittyy liikkeeseen ja jatkuvasti muuttuviin asioihin -
voidaan tutkia tällä laskutavalla.
Ehkä se yrittää kommunikoida!
Voimme tutkia sen karjuntaa.
Äärettömyysperiaatteella voi tutkia monimutkaisia asioita -
jakamalla ne äärettömään määrään yksinkertaisempia asioita.
Ratkaistaan pienempien osien ongelma -
ja lisätään tulokset yhteen alkuperäisen kokonaisuuden tajuamiseksi.
Karjuntaan on piilotettu kuva!
Lopettakaa ääretöntä vastaan taisteleminen.
Se on rauhanomainen. Katsokaa!
Sähköä opittiin ymmärtämään differentiaali- ja integraalilaskennalla.
Sähkö on mahdollistanut koko nykymaailmamme.
Moshi moshi!
Onko ääretöntä olemassa?
Tietyllä matemaattisella tavalla -
siitä ei ole kysymystäkään, sillä jos sille on olemassa symboli -
ja osaamme käsitellä symbolia,
voimme vetää samoja johtopäätöksiä.
Siten voimme ratkaista käytännön kysymyksiä.
Puhtaan matemaattisesta näkökulmasta se on siis todiste olemassaolosta.
Mutta onko ääretön olemassa maailmassa?
Se menee palkkatasoni yli.
Jos kysyy, onko se olemassa fyysisesti…
Kuka tietää?
Se on fyysikkojen kysymys.
Nyt heidän täytyy tehdä kalliita juttuja -
ja selvittää, onko aika-avaruus ääretön. Se on todellinen kysymys.
LUKU 4
∞ ON JOSSAIN
Tämä on loistokysymys. Mistä oikeita äärettömiä voi etsiä?
Olemme painiskelleet kysymyksen kanssa.
Onko ääretön äärettömyys todellinen -
vai onko se pitkäaikainen ihmiskeksintö?
Ehkä voimme lähestyä ääretöntä.
Fyysikkona se on minun heiniäni.
Kuinka jännittävää olisikaan löytää fyysisestä maailmasta jotain,
joka todistaisi jonkin olevan fyysisesti ääretön?
Kaikilla meillä on kokemus -
ulos menemisestä yöllä ja tähtitaivaan tuijottelusta.
Makasin rannalla yömyöhään Trinidadissa.
Olin ehkä kahdeksanvuotias ja pohdin ulkoavaruuden valtavuutta.
Jatkuuko se äärettömiin?
Kyseenalaistan äärettömyyden käsitteen,
kun käytän tiettyä mittapuuta:
Voimmeko mitata sitä?
Pääsemmekö siihen käsiksi?
Voimmeko mitenkään ottaa sitä haltuun ja sanoa: "Tässä se on"?
"Tässä ääretön on."
Sillä tietyllä mittapuulla vastaus on ei.
Emme yksinkertaisesti voi mitenkään mitata ääretöntä.
Kukaan ei ikinä voi laskea piin loputtomia desimaaleja -
mittauksen tuloksena.
Laboratoriossa me pystymme mittaamaan -
ainoastaan äärettömien lukujen likiarvoja.
Sitten sitä alkaa pohtia, että ehkä näitä lukuja ei olekaan,
eikä luonto oikeasti käytä niitä.
Ja…
En tiedä vastausta siihen kysymykseen.
Joskus sitä miettii, että kun universumi syntyi,
ehkä sen laajenemisen vauhti on irrationaaliluku -
kuten 0,500187923,
ja universumi jatkaa äärettömän lukujonon laskemista ajan myötä.
Ehkä universumi itsessään siis suorittaa laskutoimitusta,
ja se saattaisi laskea äärettömiä lukuja.
Viisi, nolla, yksi, seitsemän, kahdeksan…
Taidan säikytellä teitä, mutta Steven Strogatz oli varmasti vielä oudompi.
Kyllä vain.
Ajattele hyytelöpalaa.
Sellainen möykky hyytelöä hytkymässä pöydällä tai lautasella.
Sitä ei ajattele atomeina.
Sitä pitää hyytelöjatkumona, jonka voi jakaa äärettömiin osiin.
Se pysyy hyvin koossa.
Siten me asioita yleensä ajattelemme.
LUKU 5
∞ ON PIENI
Matemaatikot ovat hyviä puhumaan jatkumosta.
Jatkumo on ajatus siitä, että jos otetaan lyhyt viiva,
voin puolittaa sen, puolittaa sen uudelleen ja uudelleen ja taas uudelleen.
Aina on silti viiva, enkä lopeta ikinä. Voin jatkaa ikuisesti.
Täysin eri kysymys on, ovatko asiat todellisuudessa jatkuvia.
Jos köyden puolittaa, puolittaa uudelleen ja taas uudelleen…
Voiko jatkaa ikuisesti?
Tästä on väitelty antiikista asti.
Olemme ymmärtäneet selkeästi, ettei pala köyttä ole jatkuva.
Mikään aineellinen ei ole.
Se koostuu osasista, joita kutsumme molekyyleiksi, atomeiksi, partikkeleiksi.
Minun työni fyysikkona -
on tutkia toisenlaista jatkuvuutta, joka…
Se ei ole aineen jatkuvuutta. Narun, puunpalan tai metallinpalan.
Tutkin tilan jatkuvuutta.
Otetaan vaikka tila kätteni välissä -
ja kuvitellaan sen puolittaminen aina vain uudestaan.
Voimmeko jatkaa ikuisesti?
Onko tila todella jatkuvaa?
Voiko sen jakaa ikuisesti?
Mututuntumani on, että ei.
Jos otamme parhaat tietomme maailmasta -
eli Einsteinin suhteellisuusteorian ja kvanttimekaniikan ja yhdistämme ne,
siitä seuraa selkeästi,
että on olemassa tilan minimaalinen määrä. Se on hyvin pieni. Uskomattoman pieni.
Kymmenen potenssiin -33 cm, niin sanottu Planckin pituus.
Niin pikkuruinen,
että sitä on ihmisen mielikuvituksella vaikea ajatella.
Jos ottaa yksittäisen atomin -
ja suurentaa sen tuntemamme universumin kokoiseksi…
Eli aivan valtava suurennos.
Planckin pituus tässä mittakaavassa -
kasvaisi suurin piirtein tavanomaisen puun kokoiseksi.
Puu on siis maailmankaikkeudessa yhtä pieni kuin Planckin pituus atomissa.
Atomimittakaavallakin puhutaan siis etäisyyksistä,
joissa jatkuvuuden käsite saattaa hajota ja eriävyyttä löytyä.
Ne ovat uskomattoman pieniä.
Minulla on siis -
näin pienessä mittakaavassa pikselöity näkemys todellisuudesta.
On kuin Jumala ei olisi piirtänyt universumia jatkuvilla viivoilla,
vaan pikku pikseleillä.
Pieniä asioita on monen monta, mutta jatkuvuutta ei.
Vain eriävyyttä.
Se on äärellistä.
Mitään äärettömän pientä ei ole.
LUKU 6
∞ ON MADONREIKÄ
Lempiesimerkkini todellisista äärettömistä on mustien aukkojen ajatteleminen.
Mustat aukot ovat valtavia olioita, joissa aine on pakkautunut niin tiiviisti,
että sen ympärille muodostuu tapahtumahorisontti,
josta emme saa tietoa.
Tapahtumahorisontissa ei ole mitään ääretöntä.
Se on itse asiassa tyhjyyttä. Neutraali alue.
Sen ylittämistä ei huomaisi.
Keholle ei tapahtuisi mitään outoa.
Ongelmallista on se, mitä mustan aukon sisällä tapahtuu.
Emme kirjaimellisesti tiedä mitään siitä, mitä mustan aukon sisällä tapahtuu.
Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan tapahtumahorisontin ohittamisen jälkeen -
jos putoaa entistä syvemmälle,
päätyy lopulta singulariteettiin.
Se on alue, joka on aika-avaruuden ääretön kaareutuminen,
jossa koko mustan aukon massa on tiivistettynä.
Ääretön ja täysin katastrofaalinen tiheys.
Siellä tapahtuu sellainen kauhunäytelmä,
että tietyssä ajassa,
itse asiassa mikrosekunneissa,
osuisit tähän äärettömän tiheyden äärettömään poimuun -
ja putoaisit pois olemassaolosta.
Kuin et olisi enää osa luonnollista maailmaa.
Et ole… Fysiikka loppui.
Se rikkoo kaikkia luonnon ymmärtämisen sääntöjä.
Luontoa ei voi pohjimmiltaan ymmärtää tässä salapaikassa mustan aukon sisällä.
Se tuntuu väärältä.
Mitä tehdään, kun on teoria, joka toimii todella hyvin -
paitsi äärettömyyden kohdalla?
Pitääkö koko teoria heittää roskiin, vai yrittääkö äärettömyys sanoa jotain?
Singulariteetti, tämä ääretön kaari, ääretön tiheys, en usko siihen todella.
Yhtälöiden ennustama äärettömyys on vihje.
Se vihjaa, että siellä on jotain uutta.
Joskus, kun mietin mustan aukon keskuksen äärettömyyttä,
miellän sen kuolevaksi mieheksi,
joka raapustaa maan tomuun vihjeen, joka kertoo meille,
että suhteellisuusteoria ei toimi tässä.
Uskon, että mustassa aukossa on uudenlaista fysiikkaa.
Uskon, että siellä saattaa olla jonkinlainen portaali -
uuteen todellisuuteen. Ehkä uuteen universumiin.
Työstän juuri erästä projektia,
joka voisi tukea tätä, jos matematiikka toimii.
Tietyt portaalit voisivat päästää meidät mustien aukkojen läpi.
Kutsumme niitä madonrei'iksi.
Madonreikä on kohta,
jossa sanon: "Tässä on ympyrä.
Sen sisällä on toinen, suurempi ympyrä."
Onko selvä?
Sen sisällä on uusi ympyrä, joka on taas laajempi.
Jollain tasolla meitä rajoittaa -
tavanomainen ymmärryksemme ajasta ja avaruudesta.
Asia toisen sisällä on pienempi.
Mutta se suurempi asia on täällä sisällä.
Jos menisin sisään, olisin siinä suuremmassa asiassa.
Silti näen vain sen ulkopuolen.
Ymmärrätkö sen?
Matemaattisesti se on täysin selkeää, mutta kun katson tätä, en tajua yhtään.
No niin.
Haluan, että ajattelet tätä ja kerrot, mitä se saa miettimään äärettömästä.
No,
sanoisin,
että jos olisin mikroskooppinen olento, joka elää tämän pallon pinnalla,
voisin nähdä pinnan äärettömäksi,
sillä minun käsitykselläni äärettömästä kestäisi äärettömän kauan -
päästä pallon tältä puolelta toiselle.
Mutta eihän se ole ääretön. Minulle se ei ole ääretön.
Et siis pitele äärettömyyttä kädessäsi?
Runollisesti puhuen pidän.
Pitelen äärettömyyttä kädessäni.
Näen kaiken tässä huoneessa pallon heijastuksesta.
Jos seiniä ei olisi, näkisin pallossa koko universumin.
Koko takanani olevan universumin,
sillä kaikesta on reitti tähän palloon ja sitten silmiini.
Ainoa asia, johon emme aika-avaruudessa pysty,
on katsoa universumia näin ylhäältäpäin.
Se onkin tavallaan yksi virheistämme, kun kuvittelemme äärellistä universumia.
Kuvittelemme olevamme sen yläpuolella olevassa tilassa,
eri ulottuvuudessa ja katsomassa sitä ylhäältä.
Mutta sehän olisi tietysti osa universumia.
Jos saisin jostain valoa, se olisi osa universumia.
Sitä ei siis ole olemassa.
Universumista ei voi hypätä pois katsomaan sitä. Ikinä.
Pitelet äärettömyyttä. Se on todellinen.
Eikä ole.
Tiedätkö Platonin vanhan tarinan vangeista luolassa?
Vanhan filosofian mukaan -
vangit ovat ansassa luolassa selät luolan suuaukkoon päin.
Luolaan tulee valoa,
mutta vangit näkevät vain varjoja luolan seinällä,
kun maailmassa tapahtuu asioita.
Minulle tämä on varjo.
Tämä ei ole todellinen pallo. Tämä ei ole täydellinen pallo.
Täydellisessä pallossa olisi äärettömästi pisteitä pinnalla ja sisällään.
Tämä koostuu atomeista.
Niitä on paljon, muttei äärettömästi.
Tämä on äärettömän varjo.
Pidän varjosta kovasti, koska se antaa vilauksen äärettömästä.
LUKU 7
∞ ON SUURI
Se tuntuu käsittämättömältä.
Olemme rajallisia olioita. Elämässä ehtii tehdä rajallisesti asioita.
Voisimmeko silti jotenkin nähdä jotain, joka on todella ääretöntä?
En usko, että se on mahdotonta.
Olen miettinyt paljon erästä esimerkkiä.
Mitä tapahtuisi fyysiselle järjestelmälle, jos odottaisi ikuisuuden?
Otetaan vaikkapa laatikko.
Se on loistava laatikko.
Mikään ei pääse sisään eikä ulos.
Panemme laatikkoon omenan ja suljemme laatikon.
Kuukauden päästä omena näyttää nahistuneelta ja pilaantuneelta.
Vuoden päästä omena on täysi sotku.
Se on mädäntynyt. Bakteerit ovat tehneet tehtävänsä.
Sadan vuoden päästä -
omena on luultavasti jonkinlaista tomua.
Omena sisältää kemiallista energiaa, jota saisi myös syömällä tai polttamalla.
Energia tulee lopulta ulos,
joten omena kuumenee laatikossa kovasti, ehkä tuhansiin asteisiin.
Hiukkaset saattavat muodostaa ydinfuusion.
Siinä kestää kauan,
sillä ydinreaktiot tapahtuvat hitaasti tuhansissa asteissa,
mutta lopulta niin käy.
Omena on muuttunut miljoona-asteiseksi perushiukkasten plasmaksi -
ja palaa korkea-asteisemmiksi asioiksi.
Lopulta muodostuu luultavasti rautaytimiä ja paljon fotoneja.
Miljardien vuosien päästä -
neutronit hajoavat protoneiksi ja muiksi hiukkasiksi,
ja sitten se kököttää paikallaan hyvin pitkän ajan.
Mietitäänpä, miten protonit, neutronit ja muut hiukkaset kokevat tämän.
Ne nakuttavat menemään totellen fysiikan lakeja.
Laatikon tila muuttuu yhdestä toiseksi ja taas toiseksi.
Jos omenassa on 10 potenssiin 24 hiukkasta,
hiukkaset voivat olla noin 10 potenssiin 10 potenssiin 24 -
eri tilassa.
Se on valtava luku.
Muttei ääretön.
Se tarkoittaa,
että jos laatikko on paikallaan ikuisesti, se käyttää ne kaikki.
Se käy läpi kaikki mahdolliset tilat,
kaikki 10 potenssiin 10 potenssiin 24, tai montako vain.
Jossain vaiheessa sen täytyy käyttää jo läpikäytyjä tiloja,
koska uusia ei enää ole.
Jos odottaa hyvin pitkän ajan, jotain tapahtuu lopulta.
Tämä on äärettömän voima verrattuna äärellisyyteen.
Jossain vaiheessa laatikon voisi avata, ja siinä se omena taas olisi.
Miten siinä niin kävi? Miten kuumasta kaasusta tuli omena?
Lopulta sen täytyy tapahtua.
Kaikki, mikä laatikossa voi olla olemassa, tulee olemaan olemassa.
Kaikki se tulee olemaan olemassa loputtoman monta kertaa.
Mitä väliä?
Saatamme olla siinä laatikossa.
Missä tahansa rajallisessa tilassa,
kuten tuntemassamme universumissa, jossa asumme,
on rajallinen määrä energiaa,
jota rajallinen määrä hiukkasia kantaa.
Nämä rajalliset hiukkaset -
voivat järjestyä vain rajallisella määrällä eri tapoja.
Koska hiukkaset voivat järjestyä vain rajallisella määrällä tapoja,
jos avaruus on ääretön,
hiukkasten järjestyksen täytyy joskus toistua.
Se tarkoittaisi, että meistä on olemassa kopioita.
Meistä olisi kopioita.
Ääretön määrä kopioita. -Jossain tuolla.
Ääretön määrä kopioita. -Meistä.
Meitä on äärettömästi universumin ulkorajoilla -
tekemässä samaa asiaa kuin nämä kopiot tässä.
Jatkuvia kopioita minusta ja koska tahansa kuolevia kopioita.
Kaikki, mikä voi tapahtua, tapahtuu äärettömän monta kertaa.
Yhtäkkiä olemme villissä…
Jossain on maapallo… -…epäinhimillisessä…
…jossa käyn tätä keskustelua… -…paikassa.
Siellä olisi helteen sijaan ilmastointi.
Äärettömän monta kopiota, jossa… -…eteeni ilmestyy yhtäkkiä norsu.
Voi olla samanlainen universumi, jolla on eri historia.
Hillary Clinton voitti vaalit ja Saksa sodan.
Ehkä sillä maapallolla dinosaurukset hallitsevat yhä.
Monet ajattelevat nämä ajatukset kuullessaan,
että he olivat vain ryyppäämässä ja keksivät nämä hullutukset,
koska halusivat tehdä science fictionia.
Tämä kuitenkin pohjautuu todellisuuteen.
Jos universumi on ääretön,
universumissa olisi ääretön määrä Einsteineja.
Jotkut heistä puhuisivat teille ja vastailisivat ehkä paljon paremmin.
Suhteellisuusteorian mukaan on todennäköistä,
ettei universumi ole ääretön,
vaan itsensä päälle sulkeutuva.
Vähän kuin pallon pinta.
Yksi asia, jonka olen pitkässä elämässäni oppinut…
Mutta ne muut Einsteinit ovat hyvin kaukana.
Emme ehkä ikinä saa heihin yhteyttä,
sillä hänen suhteellisuusteoriansa mukaan -
mikään ei voi kulkea nopeammin kuin 300 000 kilometriä sekunnissa,
eli valon nopeutta.
LUKU 8
∞ ON NOPEA ∞ ON HIDAS
Näemme todellisuuden niin, että…
Näemme sen edessämme, emmekö niin?
Minä näen sinut, tuon valkotaulun -
ja tuon kameran sellaisina kuin ne ovat.
Jos näen ne sellaisina kuin ne ovat nyt, näen ne välittömästi.
Näistä objekteista minulle tuleva valo -
saapuu välittömästi äärettömällä nopeudella.
Aikanaan ajattelimme asioiden tapahtuman välittömästi,
ja että informaatio kahden pisteen välillä -
välittyi silmänräpäyksessä, yhdessä hetkessä.
Eipä tietenkään. Ei se kulje ääretöntä vauhtia.
Sillä kestää matkassa.
En näe tätä hetkeä. Näen todellisuudessa menneisyyden.
Miksikö? Koska ääretöntä nopeutta ei ole.
FILO T. FOTONIN USKALIAAT SEIKKAILUT
GALAKSIENVÄLINEN KULJETUS
OHJAUS
TARINAN LUOJAT
Naiset ja herrat, siinä hän on.
Vikkelin aalto, hiukkasista hurjin. Filo T. Fotoni!
Väisty, Magellan.
Filo aikoo suorittaa tähänastisista uroteoistaan uskaliaimman.
Hän kulkee maailman ympäri kahdeksan kertaa sekunnissa.
Valmiina, Filo.
Hän teki sen, naiset ja herrat. Jäpikkä pystyi siihen!
Katsotaanpa uudestaan reaaliajassa.
Uudestaan! Encore!
Älkääs nyt. Filo on varmasti aivan rätti.
Mitä nyt?
Lentääkö hän Andromedan galaksiin ja takaisin?
Kukaan ei ole yrittänyt vastaavaa aiemmin.
Naiset ja herrat, en voi katsoa!
Valon nopeus on maksiminopeus, jolla mikään universumissa voi kulkea.
Valon nopeus on…
Se on uskomattoman nopea.
Se on myös kauhean hidas.
LÄHESTYT MARSIA (LENNÄ VAROVASTI)
Galaksissa matkustaminen on jo kyllin vaikeaa,
mutta jos haluaa matkustaa universumissa galaksista toiseen,
emme pysty, koska emme voi… Olemme liian hitaita.
Ja valo on liian hidasta. Todella hidasta.
Onko universumi ääretön?
On vaikea ajatella, mitä universumi on.
Tiedämme, että näemme universumia monen miljardin valovuoden päähän,
ja tiedämme, että se on suurempi kuin mitä näemme.
Siitä on merkkejä.
Se voi olla kymmenen kertaa suurempi. Tai ehkä sata kertaa.
Universumissa on luultavasti kolkkia,
joihin signaali ei ikinä päätyisi, vaikka lähettäisimme sen nyt.
Universumi on siis todella suuri.
Se saa pään pyörälle.
Katselin eräänä yönä taivaalle, kun olin noin kymmenvuotias.
Ja…
Tunsin, ettei elämälläni ole väliä.
Muunsin suuren tilan suureksi ajaksi.
Tähti toisensa jälkeen…
Mietin, jatkuisiko se -
ikuisesti.
Tunsin, että universumi oli ollut olemassa kauan ennen syntymääni -
ja olisi olemassa kauan kuolemani jälkeen.
Olin vain merkityksetön pölyhiukkanen.
Minulla ja vanhemmillani ei ole väliä.
Millään ei ole.
Olemme kaikki vain pölyhiukkasia.
Elämme tässä lyhyessä hetkessä.
Kukaan meistä ei ollut täällä miljoona vuotta sitten.
Kukaan meistä ei ole täällä miljoonan vuoden päästä.
Universumi ei välitä.
Se vain jatkuu ja jatkuu.
Miksi me siis tuhlaamme aikaamme -
koulussa ja hammaslääkärissä käymiseen ja sen sellaiseen?
Miksi tuhlaamme aikaamme? Milläänhän ei ole väliä.
Ja sitten -
rakastuin.
Se muutti kaiken.
Sillä oli väliä.
Vaikka olemmekin molemmat pölyhiukkasia kosmoksessa.
LUKU 9
∞ ON IKUINEN
Yksi vanhimmista ajattelijoiden pohtimista arvoituksista on,
mitä universumissa tapahtuisi, jos voisin lentää ikuisesti.
Mitä tapahtuisi?
Menneisyydessä näimme kaksi vaihtoehtoa.
Kumpikin oli liian outo.
Yksi on, että universumi on ääretön, ja lento jatkuisi ikuisesti.
Toinen on, että tulee seinä vastaan.
Jos siellä olisi seinä, seinästä voisi mennä läpi.
Mitä sitten tulisi?
Einstein julkaisi upean artikkelin.
Hän sanoi: "Ei. Universumi voi olla rajallinen,
mutta ilman seiniä, sillä jos jatkan vain yhteen suuntaan,
tulen takaisin toisesta suunnasta."
Niin kuin Maassa.
Jos kävelen Maata itään ja jatkan vain, tuleeko seinä vastaan? Ei.
Onko Maapallo ääretön? Ei. Mitä kävi? Tulin vain toisesta suunnasta.
On hyvin mahdollista, että universumi on myös sen muotoinen.
Sillä ei olisi rajoja eikä seiniä sen äärissä,
mutta se olisi rajallinen.
Valtava, mutta rajallinen.
On itse asiassa paljon enemmän tapoja hahmottaa universumi rajallisena,
geometrisesti, abstraktisti tai miten sitten haluaakin,
kuin äärettömänä.
Itse asiassa on loputon määrä tapoja hahmottaa rajallinen universumi,
mutta vain pari tapaa hahmottaa se äärettömänä.
Tiedämme, että universumi saattaa olla ääretön,
mutta meillä ei ole tapaa mitata ääretöntä pituutta.
Ja koska valo matkustaa rajallista nopeutta -
ja universumin ikä on rajallinen,
pystymme ikuisesti havaitsemaan vain rajallisen osion universumista.
Emme voi ikinä testata kokeellisesti, onko sen taakse jäävä osa ääretön.
Kun puhumme äärettömyydestä,
voimme puhua siitä tilan puitteissa.
Voimme myös puhua siitä ajan kontekstissa.
Universumin kestosta.
On mahdollista, että universumi jatkaa laajenemistaan -
ikuisesti tulevaisuuteen.
Yhtälöt oikeastaan ennustavat niin.
Vuonna 1998 -
meille selvisi, ettei universumi pelkästään laajene,
vaan laajenemisen vauhti kiihtyy.
Galaksit loittonevat toisistaan kiihtyvällä vauhdilla.
Se tarkoittaa,
että jossain vaiheessa me menetämme yhteyden -
muihin galakseihin täysin.
Kun meidän galaksimme tähdet lopulta sammuvat,
mikä tapahtuu,
koska niillä on rajallinen määrä ydinpolttoainetta,
galaksissamme ei lopulta ole enää yhtään uusia energianlähteitä.
Koska olemme lopulta erkaantuneet muista galakseista,
ehkä noin sadan miljardin vuoden päästä,
energianlähteitä ei enää ole,
ja elämä loppuu täysin.
Noin sadan miljardin vuoden päästä -
elämä siis päättyy.
Jos jatkamme kosmologisella aikajanalla,
galaksit, planeetat, mustat aukot, kaikki, mistä tiedämme, hajoaa lopulta.
Silloin jäljellä olisi vain -
hiukkasia leijumassa pimeydessä.
Jos universumi on olemassa äärettömän pitkän ajan,
kuten nyt ajattelemme sen olevan,
elämän ajanjakso on vain pieni siivu aikaa,
kun katsotaan koko universumin ja ajan kulkua.
Vaikka sata miljardia vuotta tuntuu pitkältä ajalta,
se ei ole mitään ikuisuuteen verrattuna.
Vaikka ihmiset pääsisivät yli tämänhetkisestä kriisistään,
tai muuta elämää syntyisi,
vielä tulee viimeinen tunteva olento.
Tulee viimeinen elävä olento.
Vaikka universumi olisi ääretön,
tulee viimeinen ajatus.
Moni tuntee kouriintuntuvaa ahdistusta olemassaolon päättymisestä.
Minä en.
En ennenkään ollut olemassa, ennen syntymääni.
Tulee aika, jolloin en taaskaan ole, koska kuolen.
Sama pätee meidän lajiimme.
Ja kaikkeen elämään.
Fyysikoillakin on tunteet.
Voitte kysyä, miltä se meistä tuntuu.
Onko se haastava tunne fyysikkona?
Onko se eksistentiaalinen kriisi?
En ole ikinä…
Reagoin aina päinvastoin -
apokalyptisimpiinkin ennustuksiin universumin tulevaisuudesta.
Minulle tuo merkityksen ja yhteyden tunteita,
kun saan tuntea olevani osa tätä suurta kuvaa.
Mikään ei ole siinä mielessä pysyvää.
Minulle se on vapauttava ajatus.
Se vapauttaa meidät keskittymästä pysyvien asioiden arvoon,
ja voimme keskittyä lyhyeen hetkeen, jonka olemme saaneet,
jossa voimme ymmärtää asioita, luoda kauneutta,
ihmetellä asioita riippumatta siitä, kuinka ohimenevä kokemus on.
Universumilla itsellään on pieni elämän aikaikkuna,
tietoisuuden, kauneuden ja rakkauden ajanjakso,
ja sitten… Puff.
Koko universumi itsessään tuntuu elävän niin kuin mekin.
Olemme täällä lyhyen hetken verrattuna ikuisuuteen,
ja minulle se on pyhä ajatus.
Sen lähemmäs uskonnollisuutta en pääse.
Tietoisuuden lahja sen lyhyen hetken, jonka täällä viettää.
Mitä olin sanomassa? Tuli jokin ajatus.
LOPPUPÄÄTELMÄ
OLEMME KUIN KISSAT
Abstraktissa matematiikassa on kiintoisia käsitteitä,
joilla joltain vaikuttavan olion voi -
laittaa jonkin toisen asian sisälle tai ympärille,
ja se näyttääkin yhtäkkiä toiselta.
Tavallaan uskon, että universumi -
on jollakin tavoin ääretön verrattuna meidän elämiimme,
koska emme ole paikalla. Emme pääse näkemään sitä.
En tiedä, onko se todella ääretön, ja minusta se on upeaa.
Se ei sureta minua.
Tieteilijänä tiedon puute on jännittävää.
On asioita, joita en usko mielemme kykenevän tietämään,
mutta ne ovat silti todellisia.
Kutsuu sitä sitten äärettömäksi, hengeksi tai jumalaksi, miksi tahansa,
uskon sen olevan olemassa -
mutta tietämätöntä.
Ääretön on hyvin suuri. Liian suuri.
Minulle ääretön on tunne, jonka koemme luonnon valtavuuden äärellä.
Olemme pikkuruisia olioita.
Teemme tiedettä. Se on kivaa. Pidän tieteen teosta.
Painovoiman kvanttiominaisuuksien ja kosmoksen muodon selvittämisestä.
Todellisuudessa -
olemme kuitenkin kuin pieni kissa, joka yrittää selvittää kvanttimekaniikkaa.
Kissa ei ymmärrä sitä, koska sen aivot ovat tietynlaiset.
Minunlaiseni ihmisparka ei ymmärrä kaikkea universumista,
koska aivoni ovat kehnonlaiset.
Aivojemme neuronien määrä on verrattavissa galaksien tähtien määrään.
Se on valtava.
Ajateltavien ajatusten määrä -
on siis fantastisen suuri luku.
Ykköstä seuraa miljardeja numeroita.
Se on uskomattoman suuri luku.
Suurempi kuin mikään, mitä olemme kohdanneet.
Aivomme ovat kuitenkin kilo lihaa,
jossa voi olla useita eri säädöksiä, eivätkä muuta.
Periaatteessa ne voisi listata.
Kyse ei ole äärettömyydestä,
ja meidän on kohdattava itsemme, ei siis luonnon, perustava rajallisuus.
Yksi, kaksi, kolme, neljä, viisi…
Onko ihmisen luovuus ääretöntä?
…kahdeksan, yhdeksän, kymmenen, yksitoista, kaksitoista, kolmetoista…
Menen lukkoon tuosta ehdotuksesta.
En tiedä. Hyvänen aika. Minä…
En tiedä. En tiedä, olemmeko äärettömiä.
Jostain syystä ihmisen mieltäminen äärettömäksi ei tunnu oikealta.
Tunnumme hyvin rajallisilta.
Rajallisilta rationaalisuudessamme ja luovuudessamme.
…yhdeksänkymmentäyhdeksän, sata…
En osaa visualisoida äärettömyyttä.
Voinko kuvitella edes tuhatta?
Yksi, viisi, kuusi.
Sekin on liian suuri luku kuvitella kunnolla.
On vaikea todella kuvitella kymmentä suurempia lukuja.
Tekstitys: Otto Nuoranne